从九章算术到工具方法

        我这里也不是历史专题博客。天南海北的东西与感想，想到哪写到哪。今天的东西是从一个视频博主那里来的灵感。他介绍了《九章算术》里用一种名为“牟合方盖”的特殊几何体，求解球体体积的方法。

        这个几何体的长相如下：

        

        求解由《九章算术》、祖冲之和其子祖暅之共同贡献完成，但具体过程不是本篇重点，读者可以在维基百科上找到求解的全部详情。

        

        而我想说，我们从这里看到，为了求解球体体积这样一个通用的问题，古人设定了一个特殊的专用几何体，并把在过程中对这个几何体进行了再次专门拆分：定义1/8牟合方盖为“内棋”、牟合方盖的外接立方体减去“内棋”为“外棋”、再定义立方体的一个底面和底面以外的一个顶点作一个四角锥为“阳马”……

        整个过程是否体现出了高超的巧思？绝对如此，充满智慧。我于是带着好奇心，去查了一下完整记录这个问题解法的《九章算术》卷四，唐代李淳风注释的古本原文扫描本：

        你可以看到什么呢？面对这么复杂的一个问题，没有一张图、也没有一个类似角ABC的描述。为了解决一个通用问题，制造了至少四个专用工具，而这个问题得到解决之后，这四个工具没有复用的空间。这个问题得到解决最大的收获恐怕是：锻炼了古人的智商。

        

        其实，我们翻开九章算术的目录，你会发现这其实首先是一本例题习题集、其次是一本工程手册。第一章“方田章”38 个问题，主要介绍田亩面积的计算； 第二章“粟米章”46 个问题．主要讲解各种比例的算法；第三章“衰分章”20 个问题，是讨论按比例分配的问题；第四章“少广章”24 个问题，是讲开平方、开立方的计算方法；第五章“商功章”28 个问题，是介绍各种形状的体积计算方法；第六章“均输章”28 个问题，是讲如何按人口数量，路途远近等条件合理安排各地的赋税及分派工役等问题的计算方法；第七章“盈不足章”20 个问，是讲解算术中盈亏问题的解法及比例问题；第八章“方程章”18 个问题，是讲联立方程组的解法；第九章“勾股章”24 个问题，是讲应用勾股定理求解应用问题。

        拿我们熟知的勾股定理。国际数学大会的确是承认了三国时期的赵爽给出了几何证明，并发行邮票予以纪念。但你打开《九章算术》的勾股章就发现，原文是这样的：今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。……所以实际上是给出了几组已知的常见勾股数及其应用。与其说是发现了一个数学定理、解决了一个难题，更像是发现了一个数学现象，并找到了它的应用。

        从《九章算术》的谋篇你不难发现，全书的立意重点就是“有什么用”、“这怎么用”。刀笔吏和税务官看了很喜欢，这是一本上岗前培训和速查手册，一学就会，一会就能用。至于为什么？不太重要。勾三股四就是弦五，既不是四点九也不是五点一，仅此而已。也许在古人心中，哥德巴赫猜想为什么需要证明呢？你知道它是对的不就完了吗？我们只需要掌握“哥德巴赫现象”并用它就行了。

        是啊，只追求“有用”有错吗？懂得一点数学史的就知道，有。在哥德巴赫猜想的证明过程中，诞生了无数的数学工具，为后世解决新的问题奠定了基础。而质数本身的性质，又在密码学里有重要应用。我们盯着眼前的“用”，而不识背后的“道”，就会错过“道”本身的重大意义，也会错过其后续本可以产生出的多的多的“用”。

        而中国古人即使在追求“用”的道路上，也没有走上最佳的道路。他们拥有智慧，但他们没有创造工具。我们解决了无数几何问题，但没有诞生普遍意义上的“几何学”：用通用符号表示的点、线、面、体，及其以一套公理为基础、逻辑推演为基础的知识体系。同样的现象，出现在现代的工业设计中：我们造了无数东西，但没有掌握最好的机床和背后的EDA工业设计软件。而再在此背后的文化问题，则足以另写一本书来描述了。

        篇幅所限，从一个特殊几何体牟合方盖所衍生的思考，今天暂写到这。